Regra de sinais

Mais um post sobre matemática, e dessa vez, com outro tema a princípio fácil mas que muita gente insiste em não aprender, mesmo passando 6 anos vendo isso na escola.
Regra de sinais pra quem não sabe é uma regra que determina qual deve ser o sinal do resultado de uma conta (positivo ou negativo), ou a operação (adição ou subtração) entre os módulos dos números envolvidos.

Em multiplicação e divisão, é mais fácil determinar o sinal do resultado, pois para isso, basta usarmos a regra:
+ com + dá +
+ com - dá -
- com + dá -
- com - dá +
Ou então, usar de um truque "sinais diferentes dá - e sinais iguais dá +"
Exemplos:
2x5=10
2x(-5)=-10 // Lembrando que quando se multiplica por número negativo, deve-se colocar o mesmo entre parênteses.
6/2=3
(-6)/(-2)=3
E quando há mais de dois fatores na multiplicação?
Podemos usar a mesma lógica calculando um termo por vez:
Exemplo:
2x(-5)x(-3)=
(-10)x(-3)=
30
Ou, se quisermos multiplicar os termos e colocar o resultado de uma vez, podemos usar o truque "número par de sinais negativos dá + e número ímpar de sinais negativos dá -". Na conta acima, como temos dois sinais negativos, o resultado é positivo.

Agora vamos com a parte mais difícil: regra de sinais na soma e subtração.
Veja os exemplos abaixo:
5+2=7
5-2=3
-5+2=-3
-5-2=-7
Note que os primeiros exemplos são simples pois temos uma adição e subtração de números positivos apenas, cujo resultado qualquer pivete de 5 anos sabe. Já nos outros cálculos abaixo, temos números negativos, o que ferra completamente a cabeça de quem resolveu não estudar sobre o assunto. No caso -5+2=-3, temos a soma de um número negativo com um positivo, e nesse caso devemos proceder de modo que o sinal do resultado seja o mesmo sinal anterior ao número de maior módulo (módulo é a distância de um número a zero), e como no caso acima, o número de maior módulo é 5 e o sinal anterior é o de menos, o resultado da conta será negativo. E por ter sinais diferentes, a operação modular deve ser a diferença entre os módulos, ou seja 5-2=3, logo o resultado é -3.
No cálculo -5-2=-7, (subtração envolvendo número negativo), que é o que mais confunde a cabeça das pessoas, o cálculo a se proceder é o de soma dos módulos (5+2=7), e o resultado deve permanecer negativo. Esse cálculo costuma ser meio confuso pra quem tem pouca noção matemática justamente pelo fato de ter apenas sinais de menos, mas ser uma soma de módulos, ou então pelo fato da pessoa achar que deve usar a regrinha da multiplicação e divisão (- com - dá +).
E em casos de cálculos cujo número posterior é negativo?
Veja esses exemplos:
5+(-2)=5-2=3// Note que o número negativo está entre parênteses, pra não ocorrer o inconveniente de termos dois sinais de operação seguidos.
5-(-2)=5+2=7
Nesses casos de soma e subtração por número negativo, devemos primeiramente determinar o sinal que ficará entre 5 e 2, usando a regrinha da multiplicação e divisão (+ com - dá - e - com - dá +), por isso, nos exemplos acima, a soma com um número negativo converte-se em subtração e a subtração pelo mesmo número negativo converte-se em soma. Para expressões envolvendo mais de duas parcelas, calculamos apenas dois números por vez e usando a lógica acima, veja um exemplo:
2-5-6-(-10)= // Calculamos 2-5 e repetimos o resto
-3-6-(-10)= // Calculamos -3-6 e repetimos o resto
-9-(-10)= // Usamos a regrinha de sinais da multiplicação
-9+10=
1
No caso acima, podemos usar a regrinha - com - dá + já na primeira "rodada" de cálculos, poupando linhas no caderno, mas pra quem ainda não tem muita noção, recomendo fazer passo a passo.